第一遍草草看过，看到后面优化公式推导搞不懂了……又得回过头来看下。

1. 术语表

2. 看第一遍记录

1. 向量和加减法、内外积，即使坐标系不同，其结果也是一致的。（运算结果与坐标系无关——当然，数值表示时与坐标系有关, 毕竟表示时就使用了坐标系的基底）

2. 刚体 旋转矩阵 + 平移向量，合并到一起，是 变换矩阵（位置向量变为四维向量，称为齐次坐标）

3. 向量与唯一对应的反对称矩阵(Skew-symmetric Matrix)

   $\newcommand{\bs}{\boldsymbol}$

   向量叉乘（外积） $\bs{a} \times \bs{b}$ 表示一个垂直与 $\bs{a}$, $\bs{b}$ 所在平面，模为 $\lvert \bs a \rvert \lvert \bs b \rvert \sin \left \langle \bs a, \bs b \right \rangle$

   基于向量间叉乘（外积）引入了反对称矩阵和和符号 $\wedge$. 对向量 $\bs{t} = (x, y, z)$, 其反对称矩阵为

   \[\bs{t}^\wedge = \begin{pmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \\ \end{pmatrix}\]

4. 实战 Eigen 1 : 基础类型

   1. Matrix3d 中的 3d 不是表示3维矩阵，而是表示 3 x 3 double, 对应的还有 Matrix3f, Matrix3i 等 （分别表示 float、 int）.

      Matrix3d, Vector3f, RowVector3f 等都是 Matrix<scalar, N1, N2> 的宏定义。

   2. Eigen::Matrix 什么时候用动态size（MatrixX*），什么时候用静态size（模板参数）?

      显然，如果是运行时才知道，那必然只能用动态size；

      其次，根据文档：

      • 矩阵规模小（一般小于等于16），最好用静态的，这样变量都站栈上，快；

      • 矩阵规模大了（大于32），那也建议用动态的（如可用 MatrixXd(row, col) 初始化），因为 这时用静态的，可能会爆栈。

      可知，模板定义的静态参数，是永远在栈上申请的。

   3. 似乎老版本(3.4前)，不支持用 initializer list 初始化矩阵

      看 文档 支持使用 initializer list 来做初始化，然而我编译总是报错。

       error: no matching function for call to 
       ‘Eigen::Matrix<int, -1, -1>::Matrix(<brace-enclosed initializer list>)’
      

      开始以为是CMake没有设置好 -std=c++11, 折腾半天还是不行。 search网上，信息好少，找到一个 C++ initializer lists for arbitrary length vectors 看起来说3.3.9 还不行；我看了下ubuntu直接装的Eigen3版本，在 /usr/include/eigen3/Eigen/src/Core/util/Macros.h 下，是 3.3.7, 果然不行啊…… 白折腾了。

      又去找了下change log, 也没发现有这个改动； 文档里也没有说从什么版本开始支持的…… 一个字，有点坑啊
      并没有试最新版是否支持——算了，别总在这种细节地方折腾 = =； 老实用comma初始化，不一样吗？ 还少写几个括号呢！

   4. auto 有坑！ 用Eigen, 别用auto

      看高博的代码里有 Matrix3d m = Matrix3d::Random(); 习惯性地，写为 auto m = Matrix3d::Random(); 结果发现下面的转置结果竟然和前面的矩阵输出对不上啊？用一个固定矩阵、固定类型整了下，确定是auto的问题……

      然后用网上看到的 std::cout << decltype(m)::info 从编译错误中看出auto推断的类型，为：

       Eigen::CwiseNullaryOp<
           Eigen::internal::scalar_random_op<double>, 
           Eigen::Matrix<double, 3, 3, 0, 3, 3>
       >
      

      果然这不是想要的类型啊……

      网上search了下 Eigen auto random 果然有人问了，这个 Random 返回的果然不是固定值，而是一个表达式！ 这个表达式就用于延迟求值的——用的时候才算一次。 用 auto 接受了表示式，所有后面每次对这个表达式做操作，就求值一次Random，所以每次都不一样。 而当我们使用固定类型接收时，如期望的Matrix3d, 就会直接触发类型转换，Random只求值一次存储到结果里，固定住了。

      哎，这可真是…… 学到了挺多，但是如果一开始就先去看Api，是不是定位可以快点呢？没事，反正就是学习嘛 = =

      最后，记住上面链接里的话：

      C++11 and the auto keyword
      In short: do not use the auto keywords with Eigen’s expressions, unless you are 100% sure about what you are doing. In particular, do not use the auto keyword as a replacement for a Matrix<> type.

      不熟Eigen，别用 auto

5. 欧拉角的万向锁问题(Gimbal Lock)

   本质原因，应该还是： 没法用三个变量不带奇异性的表示三维空间内的旋转，正如 用经纬度两个坐标表示铺开的地球平面，在维度为90度时，经度无唯一解：任意经度，在维度=90时， 其实都对应到3维球面的一个点，故是奇异性的。 这个就和万向锁一样：当pitch = 90度时，改变X、Z都无法让物体离开某一个平面； 即在一个位置，X、Z不能有唯一解。

   看到网上说法，万向锁存在的前提，是使用动态欧拉角。即每次变换，都基于变换后的坐标系。

6. 描述三维空间中的刚体运动（欧式变换），为何要有多种表达： 旋转矩阵+平移向量 $\rightarrow$ 变换矩阵+齐次坐标 $\rightarrow$ 旋转向量+欧拉角 $\rightarrow$ 四元数

   两个坐标系变换，最直观的计算，就是旋转矩阵+平移向量（描述刚体运动）。

   变换矩阵+齐次坐标，是为了解决旋转矩阵+平移向量书写繁琐的问题。没有本质区别，不过表示上的trick。

   旋转向量+欧拉角，针对的是

   1. 变换矩阵16个(旋转矩阵+平移向量同样16个)表示3个自由度的旋转，显得冗余

   2. 旋转矩阵本身有约束（正交矩阵、行列式为1；变换矩阵也有约束）。在求解此矩阵时，很难计算 （带约束求解）

   3. 矩阵表示不够直观，人看不明白究竟怎么旋转的

   这几个问题。但又有万向锁问题……

   四元数是用来解决欧拉角问题的：4个变量表示3维旋转；表达准确，不存在奇异性；

   在四元数——基本概念中，说到四元数（相比欧拉角）的优点和应用：“解决万向节死锁（Gimbal Lock）问题， 仅需存储4个浮点数，相比矩阵更加轻量，四元数无论是求逆、串联等操作，相比矩阵更加高效； 现在主流游戏或动画引擎都会以缩放向量+旋转四元数+平移向量的形式进行存储角色的运动数据。” 可以看到，四元数，只是描述了旋转，不含平移。

   这本书这里讲得还是有点难的，学习曲线陡增…… 先混过去

   旋转3个自由度，平移还有3个自由度；所以欧式变换，一个6个自由度。书里比较强调旋转，有时忽略了平移。

7. 3维空间的更多变换方式： 相似变换、仿射变换、射影变换。

   欧式，相似，仿射，射影，依次变得一般性。射影变换就对应到现实世界到相片的变换。

2. 第二遍关注点

看到后面求解旋转矩阵要使用到群时，忘了为啥要这样做了。于是回过头又看一下——发现原来是旋转矩阵不是随随便便的一个矩阵， 它自身是有限定的，故优化目标函数时，是一个带约束的最优化。通过引入李群，可以将其转变为无约束优化，方便求解。 有关旋转矩阵的性质，具体见下面复习的内容。

2.1 再看向量定义

又看了一遍向量部分的描述：向量可以看做空间中一个点到另一个点的箭头。要和向量坐标区分开：只有定义了一个坐标体系， 这个空间中的向量才可写成坐标的形式。而且，其完备的写法应该是

$ \begin{bmatrix}\bs{e_1}, \bs{e_2}, \bs{e_3}\end{bmatrix} $ 是这个空间中的基构成的矩阵！每个基向量是坐标轴上的单位向量。 向量的加减内外积等基础操作，是定义在向量自身上的，和坐标系没啥关系——比如，两个向量的内积结果，因为是一个标量，跟坐标系无关， 所以在任何坐标系下运算，这两个向量的内积结果在数值上都一样的，为 $\vert \bs{a} \vert \vert \bs{b} \vert \cos\langle \bs{a}, \bs{b}\rangle$. 那为啥要用坐标系？显然是为了方便表示和计算向量。 定义了坐标系后，所有向量就在一个体系下，就可以用数值坐标表示出来，且向量间的运算的结果，也可以用数值方法快速求出。

2.2 旋转矩阵的推导和特殊性质

刚体运动，之前只注意到旋转+平移，书上定义是： 两个坐标系间的运动，由一个旋转+平移组成——还应该关注到，刚体运动是两个坐标系的变换。 基于此，旋转矩阵也不是随便定义的，它其实是两个坐标系的基的矩阵乘结果！这可以通过上面向量的描述来推导得到：

向量 $\bs{a}$, 从基 $(\bs{e_1}, \bs{e_2}, \bs{e_3})$ 的坐标系到基 $(\bs{e_1’}, \bs{e_2’}, \bs{e_3’})$ 的坐标系， 向量本身不变，从而有

两边左乘矩阵 $\begin{bmatrix}\bs{e_1^T}, \bs{e_2^T}, \bs{e_3^T}\end{bmatrix}^T$, 有：

左边因为基为单位向量、彼此正交的性质，因此左边矩阵乘结果为 $I$, 因此有

$\newcommand{\eqdef}{\operatorname{\overset{def}{=}}}$

$R$ 就是我们的旋转矩阵，也即坐标系基的矩阵乘结果！因为模都为1，矩阵里每个基向量的内积，结果等于基向量间的余弦值，故也叫方向余弦矩阵。 进一步可以推导：

1. 旋转矩阵是正交矩阵

   所谓正交矩阵，就是满足下面任意条件的矩阵：

   1. $A^T A = I$
   2. $A^T = A^{-1}$, 转置等于逆
   3. $A$ 的每行都是正交的单位向量，或者每列都是正交的单位向量

   这几个都是等价的（第一、第二点比较显然，第三点我没有细究如何推导）。我们可以从第二点出发，通过验证 $R^T = R^{-1}$ 来推出旋转矩阵 $R$ 是正交矩阵.

   1. 求解 $R^T$ 是很简单的, 只需将其旋转即可。
   2. 求解 $R^{-1}$, 最简单是从上述的定义出发：回到 \ref{ref1}， 之前 $R$ 表示从坐标系 $(\bs{e_1’}, \bs{e_2’}, \bs{e_3’})$ 旋转到 $(\bs{e_1}, \bs{e_2}, \bs{e_3})$, 而 $R^{-1}$， 就是反过来，从坐标系 $(\bs{e_1}, \bs{e_2}, \bs{e_3})$ 转到 $(\bs{e_1’}, \bs{e_2’}, \bs{e_3’})$. 于是，在 \ref{ref1} 中左乘 $\begin{bmatrix}\bs{e_1’^T}, \bs{e_2’^T}, \bs{e_3’^T}\end{bmatrix}^T$，这样轮到右边矩阵乘结果为 $I$ 了, 而左边乘出的矩阵就是 $R$ 的逆了。

   打出来太麻烦了，可以直接在纸上写下。$R^T$ 和 $R^{-1}$ 值的确是相等的，故旋转矩阵是正交矩阵。

2. 旋转矩阵行列式为1

   正交矩阵的行列式可以是 1 或 -1 （由 $A^T A = I$，两边求行列式相等可得）. 其中为 1 时就是旋转矩阵，为 -1 时被称为瑕旋转矩阵。

去网上搜索，基本上正交矩阵和旋转矩阵是绑在一起的，两者关联性极大。